Question

9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}）$的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x₀，2）和（x₀+2π，-2）．
（1）求f（x）的解析式及x₀的值；
（2）若$θ∈（0，\frac{π}{3}）$且满足$f（2θ）=\frac{6}{5}$，求cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象可求得A，ω，及φ的值，从而可求得f（x）的解析式及x₀的值；
（2）由f（2θ）=2sin（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{6}{5}$，利用两角和的正弦即可求得答案．

解答 解：（1）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象可知A=2，$\frac{T}{2}$=2π，
∴$\frac{2π}{ω}$=4π，∴ω=$\frac{1}{2}$；
又f（0）=1，
∴2sinφ=1，而|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）；
又$\frac{1}{2}$x₀+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
∴x₀=$\frac{2π}{3}$； 
（2）∵f（2θ）=2sin（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{6}{5}$，
∴sin（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，∵$θ∈（0，\frac{π}{3}）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}sinθ+\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ=\frac{3}{5}}\\{\frac{1}{2}cosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$
解得：cosθ=$\frac{{4\sqrt{3}+3}}{10}$．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．