Question

设函数f(x)=lnx-

1

2

ax2-bx．
（Ⅰ）当a=b=

1

2

时，求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）令F(x)=f(x)+

1

2

ax2+bx+

a

x

（0＜x≤3）其图象上任意一点P（x₀，y₀）处切线的斜率k≤

1

2

恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=0，b=-1，方程2mf（x）=x²有唯一实数解，求正数m的值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数求得函数的最大值即可；
（Ⅱ）由导数的几何意义求得切线的斜率，解不等式求得a的取值范围；
（Ⅲ）构造函数g（x）=x²-2mlnx-2mx，方程2mf（x）=x²有唯一实数解，等价于函数g（x）的最小值等于0，利用导数求得函数g（x）的最小值，解得即可．

解答： 解：（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=b=

1

2

时，f(x)=lnx-

1

4

x2-

1

2

x，
令f′(x)=

1

x

-

1

2

x-

1

2

=

-(x+2)(x-1)

2x

=0                    …（2分）
解得x=1．
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．
所以f（x）的极大值为f(1)=-

3

4

，此即为最大值              …（4分）
（Ⅱ）F(x)=lnx+

a

x

，x∈(0，3]，则有k=F′(x0)=

x0-a

x02

≤

1

2

，在x₀∈（0，3]上恒成立，
所以a≥(-

1

2

x

2 0

+x0)max，x₀∈（0，3]
当x₀=1时，-

1

2

x

2 0

+x0取得最大值

1

2

，所以a≥

1

2

…（8分）
（Ⅲ）因为方程2mf（x）=x²有唯一实数解，所以x²-2mlnx-2mx=0有唯一实数解，
设g（x）=x²-2mlnx-2mx，则g′(x)=

2x2-2mx-2m

x

．
令g'（x）=0，x²-mx-m=0
因为m＞0，x＞0，所以x1=

m- m2+4m

2

＜0（舍去），x2=

m+ m2+4m

2

，
当x∈（0，x₂）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上单调递减，
当x∈（x₂，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上单调递增，
当x=x₂时，g'（x₂）=0，g（x）取最小值g（x₂）．…（10分）
则

g(x2)=0 g′(x2)=0

即

x22-2mlnx2-2mx2=0 x22-mx2-m=0

所以2mlnx₂+mx₂-m=0，
因为m＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0（*）
设函数h（x）=2lnx+x-1，
因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．
所以h（1）=0，所以方程（*）的解为x₂=1，即

m+ m2+4m

2

=1，解得m=

1

2

…（12分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，求切线方程，求函数的最值等知识，注意恒成立问题的转化及构造法的运用，综合性强，属难题．