Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点分别是椭圆的上、下顶点，线段长为，椭圆的离心率为．

（1）求该椭圆的方程；

（2）已知过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点．

①若直线的斜率为，求点的坐标；

②求证点在一条定直线上，并写出该直线方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②证明详见解析，直线方程为．

【解析】

（1）由短轴长及离心率和之间的关系求出的值，进而求出椭圆的方程；

（2）①由（1）可得的坐标，设直线的方程，与椭圆联立求出的坐标，求出直线，再求两条直线的交点的坐标；

②设直线的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出直线，再求两条直线的交点的坐标与的坐标的关系，由两根之和及两根之积代入可得，解得，即在直线上．

（1），，

又，解得：，

椭圆的方程为；

（2）①由（1）可得：，，设，，

直线方程为，代入椭圆方程整理得：

解得：，，，

直线方程为：；直线方程为，

由得：，，；

②设，，

由整理可得：，

则，，

直线方程为；直线方程为；

由得：，

又，，，

，

，在定直线上.