Question

8．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长AB=1．过点A₁的平面α与正方体的面相交，交线围成一个正三角形．
（1）在图中画出这个正三角形（不必说明画法和理由）；
（2）平面α将该正方体截成两个几何体，求体积较大的几何体的体积和表面积．

Answer 1

分析 （1）连接A₁D，AB，BD，则△A₁BD为所求三角形；
（2）使用作差法求出几何体的体积，求出各个面的面积即可得出几何体的表面积．

解答 解：（1）连接A₁D，AB，BD，则△A₁BD为所求三角形，如图所示：

（2）平面α将正方体截成三棱锥A₁-ABD和多面体BCD-A₁B₁C₁D₁两部分
V_A1-ABD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$×1×1×1=$\frac{1}{6}$，
V_{多面体BCD-A1B1C1D1}=1-$\frac{1}{6}$=$\frac{5}{6}$．
因此体积较大的几何体是多面体BCD-A₁B₁C₁D₁，其体积为$\frac{5}{6}$．
由BD=$\sqrt{2}$，得S_△A1BD=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×sin{60°}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
又S_△BCD=$\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，S_{正方形BB1C1C}=1，
故多面体BCD-A1B1C1D1的表面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{1}{2}×3+1×3=\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了空间几何体的体积与表面积计算，属于中档题．