Question

10．已知函数f（x）=sinωx+acosωx（其中ω＞0）满足f（0）=$\sqrt{3}$，且f（x）图象的相邻两条对称轴间的距离为π．
（1）求a与ω的值；
（2）若f（α）=$\sqrt{2}$，α∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$），求cos（α-$\frac{5π}{12}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根据f（0）=$\sqrt{3}$求出a的值，再根据f（x）图象的相邻两条对称轴间的距离为π求出ω的值；
（2）由f（α）的值求出sin（α+$\frac{π}{3}$）的值，再根据α的取值范围求出α的值，从而求出cos（α-$\frac{5π}{12}$）的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=sinωx+acosωx（其中ω＞0）满足f（0）=$\sqrt{3}$，
∴sin0+acos0=$\sqrt{3}$，解得a=$\sqrt{3}$，
∴f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$），
又∵f（x）图象的相邻两条对称轴间的距离为π，
∴T=2π=$\frac{2π}{ω}$，解得ω=1；
（2）∵f（α）=$\sqrt{2}$，∴sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵α∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$），∴α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），
∴α+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{4}$，解得α=-$\frac{π}{12}$；
∴cos（α-$\frac{5π}{12}$）=cos（-$\frac{π}{12}$-$\frac{5π}{12}$）=cos$\frac{π}{2}$=0．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，也考查了三角函数恒等变换的应用问题，是综合性题目．