Question

已知命题P：

x2

2m

+

y2

9-m

=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题Q：双曲线

y2

5

-

x2

m

=1的离心率e∈（

6

2

，

2

），若命题P、Q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用椭圆与双曲线的性质可得命题P，Q中的m的取值范围，又命题P、Q中有且只有一个为真命题，则P，Q必一真一假．求出即可．

解答： 解：若P真，则有9-m＞2m＞0，即0＜m＜3．
若Q真，则有

m＞0 6 2 ＜ 5+m 5 ＜ 2

，解得

5

2

＜m＜5．
因命题P、Q中有且只有一个为真命题，则P、Q一真一假．
①若P真，Q假，则

0＜m＜3 m≤ 5 2 或m≥5

，解得0＜m≤

5

2

；
②若P假，Q真，则

m≤0或m≥3 5 2 ＜m＜5

，解得3≤m＜5；
综上，m的范围为(0，

5

2

)∪[3，5)．

点评：本题考查了椭圆双曲线的性质、命题的真假判断方法，考查了推理能力，属于中档题．