【题目】设,函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)若对恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1) ;(2).
【解析】
试题(1)当时,根据函数的解析式求得切点坐标,由导数的几何意义求出切线的斜率,根据直线的点斜式方程即可得到切线方程;(2)先讨论函数的符号,由于,所以可分离参数得到,构造函数,利用导数研究的单调性求出其最大值,求得实数的取值范围,再确定函数的符号,再分离参数,构造新函数,求得函数的最小值,综合以上过程即得实数的取值范围.
试题解析:(1)当时,,∴,∵,
∴曲线在点处的切线方程为即.
(2)若对恒成立,即对恒成立,则,
设,则,
当时,,函数递增;当时,,函数递减,所以当时,,∴.
∵无最小值,∴对恒成立不可能.
∵对恒成立,∴,即对恒成立.
设,∴,当时,,函数递减;
当时,,函数递增,所以当时,,∴.
综上可得,.
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【题目】已知过点作动直线与抛物线相交于,两点.
(1)当直线的斜率是时,,求抛物线的方程;
(2)设,的中点是,利用(1)中所求抛物线,试求点的轨迹方程.
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【题目】在直角坐标系中,已知曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为:,直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)写出曲线的极坐标方程,并指出它是何种曲线;
(Ⅱ)设与曲线交于,两点,与曲线交于,两点,求四边形面积的取值范围.
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【题目】已知四边形为矩形, ,为的中点,将沿折起,得到四棱锥,设的中点为,在翻折过程中,得到如下有三个命题:
①平面,且的长度为定值;
②三棱锥的最大体积为;
③在翻折过程中,存在某个位置,使得.
其中正确命题的序号为__________.(写出所有正确结论的序号)
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【题目】十二生肖,又称十二属相,中国古人拿十二种动物来配十二地支,组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相。现有十二生肖吉祥物各一件,甲、乙、丙三位同学一次随机抽取一件作为礼物,甲同学喜欢马、牛,乙同学喜欢马、龙、狗,丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢,则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是( )
A.B.C.D.
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【题目】某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”,为了确定未来发展方向此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天,这五家“农家乐的收费标准互不相同得到的统计数据如下表,x为收费标准(单位:元/日),t为入住天数(单位:天),以频率作为各自的“入住率”,收费标准x与“入住率”y的散点图如图
x | 100 | 150 | 200 | 300 | 450 |
t | 90 | 65 | 45 | 30 | 20 |
(1)若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深人调查,记为“入住率超过0.6的农家乐的个数,求的概率分布列
(2)z=lnx,由散点图判断与哪个更合适于此模型(给出判断即可不必说明理由)?并根据你的判断结果求回归方程(a,的结果精确到0.1)
(3)根据第(2)问所求的回归方程,试估计收费标准为多少时,100天销售额L最大?(100天销售额L=100×入住率×收费标准x)
参考数据, ,
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