【题目】为丰富学生课外生活,某市组织了高中生钢笔书法比赛,比赛分两个阶段进行:第一阶段由评委给出所有参赛作品评分,并确定优胜者;第二阶段为附加赛,参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析,这些分数都在
内,在以组距为5画分数的频率分布直方图(设“
”)时,发现
满足
.
(1)试确定的所有取值,并求
;
(2)组委会确定:在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛;分数在的参赛者评为一等奖;分数在
的同学评为二等奖,但通过附加赛有
的概率提升为一等奖;分数在
的同学评为三等奖,但通过附加赛有
的概率提升为二等奖(所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级).已知学生
和
均参加了本次比赛,且学生
在第一阶段评为二等奖.
()求学生
最终获奖等级不低于学生
的最终获奖等级的概率;
()已知学生
和
都获奖,记
两位同学最终获得一等奖的人数为
,求
的分布列和数学期望.
【答案】(1);(2)(
)
;(
)分布列见解析,
.
【解析】
(1)在
内,按组距为5可分成6个小区间,分别是
,
,
,
,
,
.由
,
,能求出
的所有取值和
;
(2)()由于参赛学生很多,可以把频率视为概率.学生
的分数属于区间
,
,
,
,
,
的概率分别是
,
,
,
,
,
.用符号
或(
)表示学生
(或
)在第一轮获奖等级为
,通过附加赛最终获奖等级为
,其中
,记“学生
最终获奖等级不低于学生
的最终获奖等级”为事件
,由此能求出学生
最终获奖等级不低于学生
的最终获奖等级的概率;
()学生
最终获得一等奖的概率是
,学生
最终获得一等奖的概率是
,
的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,求出
的分布列和
.
(1)根据题意,在
内,按组距为5可分成6个小区间,
分别是,
,
由,
.
每个小区间的频率值分别是.
由,解得
.
的所有取值为
,
.
(2)()由于参赛学生很多,可以把频率视为概率.
由(1)知,学生的分数属于区间
的概率分别是:
,
,
,
,
,
.
我们用符号(或
)表示学生
(或
)在第一轮获奖等级为
,通过附加赛最终获奖等级为
,其中
.
记“学生最终获奖等级不低于学生
的最终获奖等级”为事件
,
则
.
()学生
最终获得一等奖的概率是
,
学生最终获得一等奖的概率是
,
,
,
,
的分布列为:
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设数列(任意项都不为零)的前
项和为
,首项为
,对于任意
,满足
.
(1)数列的通项公式;
(2)是否存在使得
成等比数列,且
成等差数列?若存在,试求
的值;若不存在,请说明理由;
(3)设数列,
,若由
的前
项依次构成的数列是单调递增数列,求正整数
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列是公差为正数的等差数列,其前
项和为
,
且,
(1)求数列的通项公式.
(2)设数列满足
,
①求数列的通项公式;
②是否存在正整数,使得
,
,
成等差数列?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】南充高中扎实推进阳光体育运动,积极引导学生走向操场,走进大自然,参加体育锻炼,每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟.现为了了解学生的体育锻炼时间,采用简单随机抽样法抽取了100名学生,对其平均每日参加体育锻炼的时间(单位:分钟)进行调查,按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表:
分组 | ||||||
男生人数 | 2 | 16 | 19 | 18 | 5 | 3 |
女生人数 | 3 | 20 | 10 | 2 | 1 | 1 |
若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.
(1)将频率视为概率,估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少?
(2)从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动.
①求男生和女生各抽取了多少人;
②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人,求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列说法正确的是( )
A.若“”为真命题,则“
”为真命题
B.命题“”的否定是“
”
C.命题“若,则
”的逆否命题为真命题
D.“”是“
”的必要不充分条件
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【题目】已知正项数列,
满足:对任意正整数
,都有
,
,
成等差数列,
,
,
成等比数列,且
,
.
(Ⅰ)求证:数列是等差数列;
(Ⅱ)求数列,
的通项公式;
(Ⅲ)设=
+
+…+
,如果对任意的正整数
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】已知函数其中a为常数,设e为自然对数的底数.
(1)当时,求
过切点为
的切线方程;
(2)若在区间
上的最大值为
,求a的值;
(3)若不等式恒成立,求a的取值范围.
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【题目】已知曲线的参数方程为
,直线
:
,直线
:
.以极点
为原点,极轴为
轴的正半轴建立平面直角坐标系.
(1)求直线,
的直角坐标方程以及曲线
的极坐标方程;
(2)若直线与曲线
交于
,
两点,直线
与曲线
交于
,
两点,求
的面积
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【题目】某产品的包装纸可类比如图所示的平面图形,其可看作是由正方形和等腰梯形
拼成,已知
,
,在包装的过程中,沿着
将正方形
折起,直至
,得到多面体
,
分别为
中点.
(1)证明:平面
;
(2)求四棱锥的体积.
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