Question

【题目】设数列（任意项都不为零）的前项和为，首项为，对于任意，满足.

（1）数列的通项公式；

（2）是否存在使得成等比数列，且成等差数列？若存在，试求的值；若不存在，请说明理由；

（3）设数列，，若由的前项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）

【解析】

（1）代入求得，利用可验证出奇数项和偶数项分别成等差数列，由此得到和，进而得到；

（2）假设存在满足题意，利用等差中项和等比中项的定义可构造方程组，得到，由可求得的范围，结合得到，进而求出；

（3）将问题转化为当为偶数时，，构造函数和，可利用导数说明与的单调性，进而确定的取值，同时得到的范围，从而求得结果.

（1）数列是非零数列，.

当时，，；

当且时，，，

是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公差为的等差数列，

，，

.

（2）设存在，满足题意，

成等比数列，；

成等差数列，，

消去可得：，，

，，，解得：，

，，，，.

（3）若是单调递增数列，则为偶数时，恒成立，

两边取自然对数化简可得：，显然，

设，则，

当时，；当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

在处取得极大值，

当时，是递减数列，又，是的最大值，

；

设，则，

是递减数列，当时，，当时，，

当时，存在，使得恒成立；

当时，不成立，

至多前项是递增数列，即正整数的最大值是.