Question

【题目】已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn ， {bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．

（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；

（2）记Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn ， n∈N* ， 证明：Tn+12=﹣2an+10bn（n∈N*）．

Answer 1

【答案】（1）an=3n﹣1，bn=2n ，n∈N*（2）详见解析

【解析】

（1）利用等差等比数列的基本量列方程直接求解，即可求出通项．

（2）先写出Tn的表达式，再借助于错位相减求和；

（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，

由a1＝b1＝2，得a4＝2+3d，b4＝2q3，s4＝8+6d，

由条件a4+b4＝27，s4﹣b4＝10，

得方程组，解得，

故an＝3n﹣1，bn＝2n，n∈N*．

（2）由（1）得，Tn＝2an+22an﹣1+23an﹣2+…+2na1； ①；

2Tn＝22an+23an﹣1+…+2na2+2n+1a1； ②；

由②﹣①得，Tn＝﹣2（3n﹣1）+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2

2n+2﹣6n+2

＝10×2n﹣6n﹣10；

而﹣2an+10bn﹣12＝﹣2（3n﹣1）+10×2n﹣12＝10×2n﹣6n﹣10；

故Tn+12＝﹣2an+10bn（n∈N*）．