Question

8．f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]?D（m＜n），使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．
①f（x）=3-$\frac{4}{x}$不可能是k型函数；
②若函数y=-$\frac{1}{2}$x²+x是3型函数，则m=-4，n=0；
③设函数f（x）=|3^x-1|是2型函数，则m+n=1；
④若函数y=$\frac{（{a}^{2}+a）x-1}{{a}^{2}x}$（a≠0）是1型函数，则n-m的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
正确的序号是②③④．

Answer 1

分析 根据题目中的新定义，结合函数与方程的知识，逐一判定命题①②③④是否正确，从而确定正确的答案．

解答 解：①，f（x）的定义域是{x|x≠0}，且f（2）=3-$\frac{4}{2}$=1，f（4）=3-$\frac{4}{4}$=2，
∴f（x）在[2，4]上的值域是[1，2]，f（x）是$\frac{1}{2}$型函数，∴①错误；
②y=-$\frac{1}{2}$x²+x是3型函数，即-$\frac{1}{2}$x²+x=3x，解得x=0，或x=-4，∴m=-4，n=0，∴②正确；
③设函数f（x）=|3^x-1|是2型函数，则当定义域为[m，n]时，函数值域为[2m，2n]，
若n≤0，则函数f（x）=|3^x-1|=1-3^x，为减函数，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2n}\\{f（n）=2m}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-{3}^{m}=2n}\\{1-{3}^{n}=2m}\end{array}\right.$，即2-（3^m+3ⁿ）=2（m+n），
若m+n=1，则2-（3^m+3ⁿ）=2，即3^m+3ⁿ=0不成立，
若m≥0，则函数f（x）=|3^x-1|=3^x-1为增函数，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（m）={3}^{m}-1=2m}\\{f（n）={3}^{n}-1=2n}\end{array}\right.$，则（3^m+3ⁿ）-2=2（m+n），
若m+n=1，则（3^m+3ⁿ）-2=2，即3^m+3ⁿ=4，
当m=0，n=1时，等式成立，则③正确，
④，y=$\frac{{（a}^{2}+a）x-1}{{a}^{2}x}$（a≠0）是1型函数，即（a²+a）x-1=a²x²，∴a²x²-（a²+a）x+1=0，
∴方程的两根之差x₁-x₂=$\sqrt{\frac{{（a+1）}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{4}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2}{a}-\frac{3}{{a}^{2}}}$≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即n-m的最大值为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，∴④正确；
故答案为：②③④

点评 本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，考查了在新定义下函数的定义域、值域问题以及解方程的问题，是易错题．综合性较强，有一定的难度．