Question

【题目】设抛物线的方程为，其中常数，F是抛物线的焦点.

（1）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线上的动点，求的最大值；

（2）设，，是两条互相垂直，且均经过点F的直线，与抛物线交于点A，B，与抛物线交于点C，D，若点G满足，求点G的轨迹方程.

Answer 1

【答案】（1）最大值为；（2）

【解析】

（1）求得A的坐标，设出过A的直线为y＝k（x），k＝tanα，联立抛物线方程，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；

（2）求得F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x，y），设l1：y＝k（x﹣1），联立抛物线方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合向量的坐标表示，以及消元，可得所求轨迹方程．

（1）A是点关于顶点O的对称点，可得，

设过A的直线为，，

联立抛物线方程可得，

由直线和抛物线相切可得，解得，

可取，可得切线的倾斜角为45°，

由抛物线的定义可得，而的最小值为45°，

的最大值为；

（2）由，可得，设，，，，，

设，联立抛物线，可得，

即有，，

由两直线垂直的条件，可将k换为，可得，，

点G满足，可得，

即为，，

可得，则G的轨迹方程为.