【题目】设x,y∈R,则(3﹣4y﹣cosx)2+(4+3y+sinx)2的最小值为( )
A.4
B.5
C.16
D.25
【答案】C
【解析】解:∵(3﹣4y﹣cosx)2+(4+3y+sinx)2= ,类比两点间的距离公式|AB|= ,
而且3(3﹣4y)+4(4+3y)﹣25=0,
∴所求的式子为直线3x+4y﹣25=0上的一点到圆x2+y2=1上的一点的距离的平方,
画图可知,过原点O(0,0)作3x+4y﹣25=0的垂线段,垂足为P,|OP|= =5,
OP与圆的交点分别为M、N,
显然,(3﹣4y﹣cosx)2+(4+3y+sinx)2的最小值为|PM|2=(|OP|﹣|OM|)2=(|OP|﹣1)2=16.
故选C.
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角函数的最值的相关知识,掌握函数,当时,取得最小值为;当时,取得最大值为,则,,.
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【题目】在极坐标系中,圆C的极坐标方程为: .以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为: (为参数).
(1)求圆C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆C的公共点的极坐标.
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【题目】某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动,有N人参加,现将所有参加者按年龄情况分为[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[45,50),[50,55)等七组,其频率分布直方图如下所示.已知[35,40)这组的参加者是8人.
(1)求N和[30,35)这组的参加者人数N1;
(2)已知[30,35)和[35,40)这两组各有2名数学教师,现从这两个组中各选取2人担任接待工作,设两组的选择互不影响,求两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率;
(3)组织者从[45,55)这组的参加者(其中共有4名女教师,其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作,其中女教师的人数为x,求x的分布列和均值.
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【题目】某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元,但每生产100台时,又需可变成本(即另增加投入)0.25 万元.市场对此商品的年需求量为 500台,销售的收入(单位:万元)函数为 R(x)=5x-x2(0≤x≤5),其中 x 是产品生产的数量(单位:百台).
(1)求利润关于产量的函数.
(2)年产量是多少时,企业所得的利润最大?
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【题目】如图,正方形ABCD边长为2,以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F,连结CF并延长交AB于点E.
(1)求证:AE=EB;
(2)求EFFC的值.
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