Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（ω＞0，A＞0，φ∈（0，

π

2

））的部分图象如图所示，其中点P是图象的一个最高点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知α∈（π，

3π

2

），且f（

α

2

-

5π

12

）=

12

13

，求f（

α

2

）．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象易知A=2，T=π，从而可求得ω=2；由ω•

π

12

+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z，及φ∈（0，

π

2

）可求得φ=

π

3

，于是可得函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）化简f（

α

2

-

5π

12

）=-cosα，依题意知cosα=-

6

13

，α∈（π，

3π

2

），易求sinα=-

133

13

，从而可求得f（

α

2

）=2sin（2×

α

2

+

π

3

）的值．

解答： 解：（Ⅰ）由图知，A=2，T=4[

π

12

-（-

π

6

）]=π，
由

2π

ω

=π，得ω=2；
又ω•

π

12

+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z，及φ∈（0，

π

2

）得φ=

π

3

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）；
（Ⅱ）∵f（

α

2

-

5π

12

）=2sin[2（

α

2

-

5π

12

）+

π

3

]=2sin（α-

π

2

）=-2cosα=

12

13

，
∴cosα=-

6

13

，又由α∈（π，

3π

2

）知，sinα＜0，
∴sinα=-

1-cos2α

=-

1-(- 6 13 )2

=-

133

13

，
∴f（

α

2

）=2sin（2×

α

2

+

π

3

）=2（sinαcos

π

3

+cosαsin

π

3

）
=2（-

133

13

×

1

2

-

6

13

×

3

2

）
=-

133 +6 3

13

．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查诱导公式与两角和的余弦的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．