Question

已知方程组

(x-2)3+2x+sin(x-2)=2 (y-2)3+2y+sin(y-2)=6

，求x+y的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件，构造函数f（t）=t³+2t+sint，利用函数f（t）的奇偶性和单调性解方程即可．

解答： 解：∵（x-2）³+2x+sin（x-2）=2，
∴（x-2）³+2（x-2）+sin（x-2）=2-4=-2，
∵（y-2）³+2y+sin（y-2）=6，
∴（y-2）³+2（y-2）+sin（y-2）=6-4=2，
设f（t）=t³+2t+sint，
则f（t）为奇函数，且f′（t）=3t²+2+cost＞0，
即函数f（t）单调递增．
由题意可知f（x-2）=-2，f（y-2）=2，
即f（x-2）+f（y-2）=2-2=0，
即f（x-2）=-f（y-2）=f（2-y），
∵函数f（t）单调递增
∴x-2=2-y，
即x+y=4．

点评：本题考查了函数奇偶性的性质，解答此题的关键在于把已知的两等式变形，进一步构造出奇函数f（t）=t³+2t+sint，题目综合性较强，属中高档题．