Question

如图，已知椭圆E的中心是原点O，其右焦点为F（2，0），过x轴上一点A（3，0）作直线l与椭圆E相交于P，Q两点，且|PQ|的最大值为2

6

．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设

AP

=λ

AQ

（λ＞1），过点P且平行于y轴的直线与椭圆E相交于另一点M，试问M，F，Q是否共线，若共线请证明；反之说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的应用

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用|PQ|的最大值为2

6

，求出a，利用右焦点为F（2，0），求出c，可得b，即可求椭圆E的方程；
（Ⅱ）M，F，Q三点共线，证明

FM

=-λ

FQ

，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵|PQ|的最大值为2

6

，
∴2a=2

6

，
∴a=

6

，
∵右焦点为F（2，0），
∴c=2，
∴b=

a2-c2

=

2

，
∴椭圆E的方程为

x2

6

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）M，F，Q三点共线．
证明：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

AP

=（x₁-3，y₁），

AQ

=（x₂-3，y₂），
由已知得方程组

x1-3=λ(x2-3) y1=λy2 x12 6 + y12 2 =1 x22 6 + y22 2 =1

，注意到λ＞1，解得x₂=

5λ-1

2λ

，
∵F（2，0），M（x₁，-y₁），
∴

FM

=（x₁-2，-y₁）=-λ（

λ-1

2λ

，y₂），
又

FQ

=（x₂-3，y₂）=（

λ-1

2λ

，y₂），
∴

FM

=-λ

FQ

，从而三点共线．…（12分）

点评：本题考查椭圆的方程与椭圆的基本性质，考查向量的共线问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．