Question

12．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n-a_n-1=2^n-1（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由于a₁=2，a_n-a_n-1=2^n-1（n≥2）．利用“累加求和”考点a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
（2）na_n=n•2ⁿ-n，利用“错位相减法”、等比数列与等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=2，a_n-a_n-1=2^n-1（n≥2）．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+1
=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$
=2ⁿ-1．
∴a_n=2ⁿ-1．
（2）na_n=n•2ⁿ-n，
设数列{n•2ⁿ}的前n项和为T_n，
则T_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
∴数列{na_n}的前n项和S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了“累加求和”、“错位相减法”、等比数列与等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．