Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD、PC的中点，求证：

(1)PA⊥底面ABCD；

(2)BE∥平面PAD；

(3)平面BEF⊥平面PCD.

Answer 1

[解析]　(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，

所以PA⊥底面ABCD.

(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

所以AB∥DE，且AB＝DE.

所以四边形ABED为平行四边形．

所以BE∥AD.

又因为BE平面PAD，AD平面PAD，

所以BE∥平面PAD.

(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，

所以BE⊥CD，AD⊥CD.

由(1)知PA⊥底面ABCD.所以PA⊥CD.

所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.

因为E和F分别是CD和PC的中点，

所以PD∥EF.所以CD⊥EF，

又因为CD⊥BE，BE∩EF＝E，

所以CD⊥平面BEF.

所以平面BEF⊥平面PCD.