Question

16．已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=-2的距离小1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）斜率不为0且过点P（2，2）的直线m与曲线C交于A，B两点，设$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，当△AOB的面积为4$\sqrt{2}$时（O为坐标原点），求λ的值．

Answer 1

分析 （1）由题设知：点M的轨迹C是以F为焦点，以直线y=-1为准线的抛物线，由此能求出曲线C的方程．
（2）设直线m的方程为y=kx+（2-2k），代入抛物线方程，由韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式得出三角形的面积，求出k，得出A，B的横坐标，根据相似比得出λ的值．

解答 解：（1）∵点M到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=-2的距离小于1，
∴点M在直线l的上方，点M到F（1，0）的距离与它到直线l′：y=-1的距离相等，
∴点M的轨迹C是以F为焦点，l′为准线的抛物线，
所以曲线C的方程为x²=4y．
（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，
设直线m的方程为y-2=k（x-2），即y=kx+（2-2k），
代入x²=4y，得x²-4kx+8（k-1）=0，（*）
△=16（k²-2k+2）＞0对k∈R恒成立，
所以，直线m与曲线C恒有两个不同的交点，
设交点A，B的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=4k，x₁x₂=8（k-1），
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{16{k}^{2}-32（k-1）}$，
又O到直线AB的距离d=$\frac{|2k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=4|k-1|•$\sqrt{{k}^{2}-2k+2}$=4$\sqrt{（k-1）^{2}（{k}^{2}-2k+2）}$=4$\sqrt{2}$，
∴（k-1）²（k²-2k+2）=（k-1）⁴+（k-1）²=2，解得（k-1）²=1，∴k=0（舍）或k=2．
把k=2代入方程（*），得x²-8x+8=0，解得x=4±2$\sqrt{2}$，
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，∴λ=$\frac{2-（4-2\sqrt{2}）}{4+2\sqrt{2}-2}$=3-2$\sqrt{2}$或λ=$\frac{4+2\sqrt{2}-2}{2-（4-2\sqrt{2}）}$=3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查曲线方程的求法，考查实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质、直线与圆锥曲线的位置关系、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式等知识点的灵活运用．