Question

4．已知函数f（x）=ax（lnx-1）-x²（a∈R）恰有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若不等式lnx₁+λlnx₂＞1+λ恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x）=alnx-2x，a≠0，$\frac{2}{a}=\frac{lnx}{x}$，令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，${g}^{'}（x）=\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，由此利用导数性质能求出实数a的取值范围．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得alnx₁=2x₁，alnx₂=2x₂，两式相减，得a（lnx₁-lnx₂）=2（x₁-x₂），a=2•$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}$，从而$\frac{（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+λ）ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1}$＞1+λ，令t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$∈（0，1），得（t+λ）lnt-（1+λ）（t-1）＜0，令h（t）=（t+λ）lnt-（1+λ）（t-1），则h′（t）=lnt+$\frac{λ}{t}$-λ，令I（t）=lnt+$\frac{λ}{t}$-λ，则I′（t）=$\frac{1}{t}-\frac{λ}{{t}^{2}}$=$\frac{t-λ}{{t}^{2}}$，（t∈（0，1）），由此利用分类讨论思想，结合导数性质能求出实数λ的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax（lnx-1）-x²（a∈R），
∴f′（x）=alnx-2x，
依题意得x₁，x₂是alnx-2x=0的两个不等正实数根，
∴a≠0，$\frac{2}{a}=\frac{lnx}{x}$，
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，${g}^{'}（x）=\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
当x∈（0，e）时，g′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，且g（1）=0，
当x＞e时，g（x）＞0，
∴0＜$\frac{2}{a}$＜g（e）=$\frac{1}{e}$，
解得a＞2e，故实数a的取值范围是（2e，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得alnx₁=2x₁，alnx₂=2x₂，
两式相减，得a（lnx₁-lnx₂）=2（x₁-x₂），a=2•$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}$，
∴lnx₁+λlnx₂＞1+λ，∴$\frac{2（{x}_{1}+λ{x}_{2}）}{a}$＞1+λ，∴2（x₁+λx₂）＞a（1+λ），
∴x₁+λx₂＞$\frac{（1+λ）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}$，∴$\frac{（{x}_{1}+λ{x}_{2}）（ln{x}_{1}-ln{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1+λ，
∴$\frac{（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+λ）ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1}$＞1+λ，
∵0＜x₁＜x₂，令t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$∈（0，1），∴$\frac{（t+λ）lnt}{t-1}＞1+λ$，
∴（t+λ）lnt-（1+λ）（t-1）＜0，
令h（t）=（t+λ）lnt-（1+λ）（t-1），
则h′（t）=lnt+$\frac{λ}{t}$-λ，
令I（t）=lnt+$\frac{λ}{t}$-λ，则I′（t）=$\frac{1}{t}-\frac{λ}{{t}^{2}}$=$\frac{t-λ}{{t}^{2}}$，（t∈（0，1）），
①当λ≥1时，I′（t）＜0，∴h′（t）在（0，1）上单调递减，∴h′（t）＞h′（1）=0，
∴h（t）在（0，1）上单调递增，∴h（t）＜h（1）=0，符合题意．
②当λ≤0时，I′（t）＞0．∴h′（t）在（0，1）上单调递增，∴h′（t）＜h′（1）=0，
∴h′（t）在（0，1）上单调递减，∴h（t）＞h（1）=0，不符合题意
③当0＜λ＜1时，I′（t）＞0，λ＜t＜1，∴h′（t）在（λ，1）上单调递增，
∴h′（t）＜h′（1）=0，
∴h（t）在（λ，1）上单调递减，∴h（t）＞h（1）=0，不符合题意．
综上所述，实数λ的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查导数性质、构造法、函数单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，是中档题．