Question

19．已知函数f（x）=lnx+$\frac{ax}{x+1}$（a∈R）
（1）若函数f（x）在区间（0，4）上单调递增，求a的取值范围；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=2x相切，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}+\frac{a（x+1）-ax}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x+1）^{2}+ax}{x（x+1）^{2}}$，由题意f′（x）≥0在（0，4）上恒成立，从而a＞-$\frac{{x}^{2}+2x+1}{x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）-2在（0，4）上恒成立，由此能求出a的取值范围．
（2）设切点为（x₀，y₀），则y₀=2x₀，${f}^{'}（{x}_{0}）=2，{y}_{0}=ln{x}_{0}+\frac{a{x}_{0}}{{x}_{0}+1}$，从而a=（x₀+1）²（2-$\frac{1}{{x}_{0}}$），进而lnx₀+2x₀²-x₀-1=0，令F（x）=lnx+2x²-x-1，则F′（x）＞0，从而F（x）在（0，+∞）单调递增，由此能求出a．

解答 解：（1）∵函数f（x）=lnx+$\frac{ax}{x+1}$（a∈R），
∴${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}+\frac{a（x+1）-ax}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x+1）^{2}+ax}{x（x+1）^{2}}$，
∵函数f（x）在区间（0，4）上单调递增，∴f′（x）≥0在（0，4）上恒成立，
∴（x+1）²+ax≥0，即a＞-$\frac{{x}^{2}+2x+1}{x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）-2在（0，4）上恒成立，
∵x+$\frac{1}{x}$≥2，（当且仅当x=1时取等号），∴-（x+$\frac{1}{x}$）-2≤-4，
∴a≥-4，即a的取值范围是[-4，+∞）．
（2）设切点为（x₀，y₀），则y₀=2x₀，${f}^{'}（{x}_{0}）=2，{y}_{0}=ln{x}_{0}+\frac{a{x}_{0}}{{x}_{0}+1}$，
∴$\frac{1}{{x}_{0}}+\frac{a}{（{x}_{0}+1）^{2}}=2$，①，且$2{x}_{0}=ln{x}_{0}+\frac{a{x}_{0}}{{x}_{0}+1}$，②
由①，得a=（x₀+1）²（2-$\frac{1}{{x}_{0}}$），代入②，得lnx₀+2x₀²-x₀-1=0，
令F（x）=lnx+2x²-x-1，则F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）单调递增，
又F（1）=0，∴x₀=1，∴a=4．

点评 本题考查导数的性质及应用、导数的几何意义、构造法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．