Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，PA=PB=2．
（Ⅰ）求证：当AD=2时，平面PBD⊥面PAC；
（Ⅱ）当AD=

2

时，求二面角B-PD-C的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AP，AB，AD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）由已知条件分别求出平面PDC的法向量和平面PBD的法向量，利用向量法能求出二面角B-PD-C的大小．

解答： （Ⅰ）证明：以A为坐标原点，
射线AP，AB，AD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，
建立空间直角坐标系，
由题意得A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），
C（0，2，2），D（0，0，2），
∴

BD

=(0，-2，2)，

PA

=(-2，0，0)，

CA

=(0，-2，-2)，
∴

BD

•

PA

=0，

BD

•

CA

=0，
∵BD⊥PA，BD⊥CA，
∵PA∩CA=A，∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：∵AD=

2

，∴P（2，0，0），C（0，2，

2

），D（0，0，

2

），
∴

PD

=（-2，0，

2

），

PB

=（-2，2，0），

DC

=（0，2，0），
设平面PDC的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • PD =-2x+ 2 z=0 n • DC =2y=0

，
取x=1，得

n

=(1，0，

2

)，
设平面PBD的法向量

m

=(x1，y1，z1)，

m • PD =-2x1+ 2 z1=0 m • PB =-2x1+2y1=0

，
取x₁=1，得

m

=（1，1，

2

），
∴cos＜

n

，

m

＞=

1+2

3 • 4

=

3

2

，
∴二面角B-PD-C的大小为30°．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．