【题目】如图,在四棱锥中, 平面, ,,,,是线段的中点.
(1)证明:平面
(2)当为何值时,四棱锥的体积最大?并求此最大值
【答案】(1)见解析(2)当PA=4时,体积最大值为16.
【解析】
(1)取PD中点N,易证MNCB为平行四边形,进而得BM,CN平行,得证;
(2)设PA=x(0),把体积表示为关于x的函数,借助不等式求得最大值.
(1)取PD中点N,连接MN,CN,
∵M是AP的中点,
∴MN∥AD且MN,
∵AD∥BC,AD=2BC,
∴MN∥BC,MN=BC,
∴四边形MNCB是平行四边形,
∴MB∥CN,
又BM平面PCD,CN平面PCD,
∴BM∥平面PCD;
(2)设PA=x(0<x<4),
∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥AB,
∵,
∴AB,
又∵AB⊥AD,AD=2BC=4,
∴VP﹣ABCD
=16,
当且仅当x,即x=4时取等号,
故当PA=4时,四棱锥P﹣ABCD的体积最大,最大值为16.
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【题目】近年来,随着我国汽车消费水平的提高,二手车流通行业得到迅猛发展.某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间(以下简称“使用时间”)进行统计,得到频率分布直方图如图1.
图1 图2
(1)记“在年成交的二手车中随机选取一辆,该车的使用年限在”为事件,试估计的概率;
(2)根据该汽车交易市场的历史资料,得到散点图如图2,其中(单位:年)表示二手车的使用时间,(单位:万元)表示相应的二手车的平均交易价格.由散点图看出,可采用作为二手车平均交易价格关于其使用年限的回归方程,相关数据如下表(表中,):
5.5 | 8.7 | 1.9 | 301.4 | 79.75 | 385 |
①根据回归方程类型及表中数据,建立关于的回归方程;
②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的佣金,对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格的佣金.在图1对使用时间的分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值.若以2017年的数据作为决策依据,计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金.
附注:①对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为;
②参考数据:.
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【题目】市面上有某品牌型和型两种节能灯,假定型节能灯使用寿命都超过5000小时,经销商对型节能灯使用寿命进行了调查统计,得到如下频率分布直方图:
某商家因原店面需要重新装修,需租赁一家新店面进行周转,合约期一年.新店面需安装该品牌节能灯5支(同种型号)即可正常营业.经了解,型20瓦和型55瓦的两种节能灯照明效果相当,都适合安装.已知型和型节能灯每支的价格分别为120元、25元,当地商业电价为0.75元/千瓦时.假定该店面一年周转期的照明时间为3600小时,若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯管更换.(用频率估计概率)
(Ⅰ)根据频率直方图估算型节能灯的平均使用寿命;
(Ⅱ)根据统计知识知,若一支灯管一年内需要更换的概率为,那么支灯管估计需要更换支.若该商家新店面全部安装了型节能灯,试估计一年内需更换的支数;
(Ⅲ)若只考虑灯的成本和消耗电费,你认为该商家应选择哪种型号的节能灯,请说明理由.
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【题目】如图,F是椭圆的左焦点,椭圆的离心率为,B为椭圆的左顶点和上顶点,点C在x轴上,,的外接圆M恰好与直线:相切.
1求椭圆的方程;
2过点C的直线与已知椭圆交于P,Q两点,且,求直线的方程.
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【题目】如图,在棱长为的正方体中,,,分别是棱、和所在直线上的动点:
(1)求的取值范围:
(2)若为面内的一点,且,,求的余弦值:
(3)若、分别是所在正方形棱的中点,试问在棱上能否找到一点,使平面?若能,试确定点的位置,若不能,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点,在轴上,离心率为.过的直线交于,两点,且的周长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)圆与轴正半轴相交于两点,(点在点的左侧),过点任作一条直线与椭圆相交于,两点,连接,,求证.
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