Question

【题目】如图，在四棱锥中， 平面, ，，，,是线段的中点.

（1）证明：平面

（2）当为何值时，四棱锥的体积最大？并求此最大值

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）当PA＝4时，体积最大值为16．

【解析】

（1）取PD中点N，易证MNCB为平行四边形，进而得BM，CN平行，得证；

（2）设PA＝x（0），把体积表示为关于x的函数，借助不等式求得最大值．

（1）取PD中点N，连接MN，CN，

∵M是AP的中点，

∴MN∥AD且MN，

∵AD∥BC，AD＝2BC，

∴MN∥BC，MN＝BC，

∴四边形MNCB是平行四边形，

∴MB∥CN，

又BM平面PCD，CN平面PCD，

∴BM∥平面PCD；

（2）设PA＝x（0＜x＜4），

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥AB，

∵，

∴AB，

又∵AB⊥AD，AD＝2BC＝4，

∴VP﹣ABCD

＝16，

当且仅当x，即x＝4时取等号，

故当PA＝4时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大，最大值为16．