Question

四边形ABCD的四个顶点都在抛物线上，A，C关于轴对称，BD平行于抛物线在点C处的切线。
（Ⅰ）证明：AC平分；
（Ⅱ）若点A坐标为，四边形ABCD的面积为4，求直线BD的方程。

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）y＝2x

试题分析：（Ⅰ）依题意设出A、B、C、D四点的坐标，注意到AC的斜率为0，只需证AB、AD的斜率之和为0即可；（Ⅱ）四边形ABCD可以AC为底分成两个三角形求出面积，解出得到的方程即可.
试题解析：（Ⅰ）设A(x₀，)，B(x₁，)，C(－x₀，)，D(x₂，)．
对y＝x²求导，得y¢＝2x，则抛物线在点C处的切线斜率为－2x₀．
直线BD的斜率k＝＝x₁＋x₂，
依题意，有x₁＋x₂＝－2x₀．     
记直线AB，AD的斜率分别为k₁，k₂，与BD的斜率求法同理，得
k₁＋k₂＝(x₀＋x₁)＋(x₀＋x₂)＝2x₀＋(x₁＋x₂)＝0，
所以∠CAB＝∠CAD，即AC平分∠BAD．   
（Ⅱ）由题设，x₀＝－1，x₁＋x₂＝2，k＝2．四边形ABCD的面积
S＝|AC|·＝|AC|·|x₂＋x₁|·|x₂－x₁|
＝×2×2×|2－2x₁|＝4|1－x₁|，
由已知，4|1－x₁|＝4，得x₁＝0，或x₁＝2．
所以点B和D的坐标为(0，0)和(2，4)，
故直线BD的方程为y＝2x．