Question

A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）求AB与平面BCD所成角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知可得△ABC≌△ABD，BC=BD．取CD的中点M，连接AM，BM，可得CD⊥AM，CD⊥BM，可得CD⊥平面ABM，即可证明．
（2）过点A作AO⊥BM于点O，由CD⊥平面ABM，可得平面BCD⊥平面ABM，于是AO⊥平面BCD，因此∠ABO是AB与平面BCD所成角．在△ABC中，利用余弦定理可得BC．在RT△BCM中，BM=

BC2-CM2

．再利用余弦定理可得cos∠ABM=

AB2+BM2-AM2

2AB•BM

．

解答： （1）证明：∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2．
∴△ABC≌△ABD，BC=BD．
取CD的中点M，连接AM，BM，则CD⊥AM，CD⊥BM，
又AM∩BM=M，∴CD⊥平面ABM，
∴AB⊥CD．
（2）解：过点A作AO⊥BM于点O，∵CD⊥平面ABM，
∴平面BCD⊥平面ABM，
∴AO⊥平面BCD，
∴∠ABO是AB与平面BCD所成角．
在△ABC中，BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC=7，
∴BC=

7

．
∵△ACD是等边三角形，∴AM=

3

．
在RT△BCM中，BM=

BC2-CM2

=

6

．
在△ABM中，由余弦定理可得：cos∠ABM=

AB2+BM2-AM2

2AB•BM

=

6

3

．

点评：本题考查了空间线面面面位置关系的判定及其性质、空间角的求法、余弦定理、等边三角形的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．