Question

【题目】已知椭圆1(a>b>0)的左右焦点分别为F1F2,左右顶点分别为AB,上顶点为T,且△TF1F2为等边三角形.

（1）求此椭圆的离心率e;

（2）若直线y=kx+m(k>0)与椭圆交与CD两点(点D在x轴上方),且与线段F1F2及椭圆短轴分别交于点MN(其中MN不重合),且|CM|=|DN|.

①求k的值;

②设ADBC的斜率分别为k1,k2,求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）.（2）①,②

【解析】

（1）设的半焦距为c,由题得a=2c,即得椭圆的离心率；（2）①设C(x1,y1),D(x2,y2),联立直线和椭圆方程得到，化简即得解；②先分析得到,求出，进一步分析得到的取值范围.

（1）设的半焦距为c,

由△TF1F2为等边三角形.得a=2c,

即椭圆的离心率;

（2）①设C(x1,y1),D(x2,y2),由y=kx+m,可知,N(0,m),

联立y=kx+m与,整理得(a2k2+b2)x2+2kma2x+a2m2﹣a2b2=0,

其中△=4a2b2(a2k2+b2﹣m2)＞0,

易知,x1+x2=xM+xN,即,

解得,

因为,k＞0,所以,

②由M在线段F1F2,且M,N不重合,

可知,,

从而,

即,,并结合在曲线上,则有,

所以,

从而可得,∈,

所以的取值范围为.