Question

2．已知a，b为正实数，直线y=x-2a与曲线y=ln（x+b）相切，则$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$的最小值（　　）

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 设切点为（m，n），求出曲线对应函数的导数，可得切线的斜率，代入切点坐标，解方程可得n=0，进而得到2a+b=1，消去b，得到a的二次函数，即可得到所求最小值．

解答 解：设切点为（m，n），
y=ln（x+b）的导数为y′=$\frac{1}{x+b}$，
由题意可得$\frac{1}{m+b}$=1，
又n=m-2a，n=ln（m+b），
解得n=0，m=2a，
即有2a+b=1，即b=1-2a，
则$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（1-2a）^{2}}$
=$\sqrt{5{a}^{2}-4a+1}$=$\sqrt{5（a-\frac{2}{5}）^{2}+\frac{1}{5}}$，
当a=$\frac{2}{5}$，b=$\frac{1}{5}$时，取得最小值$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查最值的求法，注意运用二次韩寒说的最值求法，同时考查导数的运用：求切线的斜率，注意设出切点，考查运算能力，属于中档题．