Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求证：平面A₁BD∥平面CD₁B₁．
（2）求异面直线A₁D与D₁C所成的角．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）通过平移先作出异面直线所成的角，进而求出即可；
（2）利用线面、面面平行的判定定理即可证明．

解答： （1）证明：∵几何体是正方体，∴CD∥A₁B₁并且CD=A₁B₁
∴A₁D∥B₁C，而A₁D?平面B₁CD₁，B₁C?平面B₁CD₁，
∴A₁D∥平面B₁CD₁，
同理可得A₁B∥平面CB₁D₁，
又∵A₁D∩A₁B=A₁，
∴平面A₁BD∥平面CB₁D₁．
解：（2）由（1）可知对角面A₁B₁CD是一个平行四边形，
∴B₁C∥A₁D．
∴∠B₁CD₁或其补角即为异面直线A₁D与 D₁C所成的角，
∵△B₁CD₁是一个等边三角形，
∴∠B₁CD₁=60°即为异面直线A₁D与 D₁C所成的角；

点评：熟练掌握线面、面面平行的判定定理和性质定理、异面直线所成的角转化为平面角是解题的关键．