Question

10．如图所示，四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，O为AC，BD的交点，且PO⊥平面ABCD，PO=$\sqrt{6}$，点M为侧棱PD上一点，且满足PD⊥平面ACM．
（1）若在棱PD上存在一点N，且BN∥平面AMC，确定点N的位置，并说明理由；
（2）求点B到平面MCD的距离．

Answer 1

分析 （1）当N为PD中点时，能推导出MO∥BN，由此能求出当N为PD中点时，BN∥平面AMC．
（2）设点B到平面MCD的距离为h，由${V}_{M-ABC}={V}_{B-AMC}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×4×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，能求出B到面MAC的距离．

解答 解：（1）当N为PD中点时，BN∥平面AMC．
理由如下：
∵M为边PD的三等分点，
∴MO为△BND的中位线，
∴MO∥BN，
∵MO?面AMC，BN?面AMC，
∴当N为PD中点时，BN∥平面AMC．
（2）∵PO=$\sqrt{6}$，四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，
∴OD=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，∴PD=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（\sqrt{6}）^{2}}$=3，
∴PM=2，MD=1，
∴OM⊥PD，∴OM=$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△MAC}=\frac{1}{2}×AC×OM=\sqrt{2}$，
设点B到平面MCD的距离为h．
∵${V}_{M-ABC}={V}_{B-AMC}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×4×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴V_B-AMC=$\frac{1}{3}×{S}_{△MAC}×h$=$\frac{\sqrt{2}}{3}h=\frac{\sqrt{2}}{3}$，
解得h=1．
∴B到面MAC的距离为1．

点评 本题考查满足线面平行的点的位置的确定，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．