Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）当m=0时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；

（Ⅱ）若函数f（x）的图象在x轴的上方，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y=-x+1；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求得f（x）解析式和导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程；

（Ⅱ）由题意，求得f（x）的导数，按m≤0，0＜m≤1分类讨论，得f（x）的单调性，计算得最小值，解不等式即可得所求的范围．

（Ⅰ）当m＝0时，f（x）＝﹣xlnx，f（x）＝﹣lnx﹣1，所以f（1）＝0，f（1）＝﹣1，

所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程是y＝﹣x+1；

（Ⅱ）“函数f（x）的图象在x轴的上方”，等价于“x＞0时，f（x）＞0恒成立”．

由，得f（x）=（2mx-1）lnx+2mx-1=（2mx-1）（lnx+1），

①当m≤0时，因为，不合题意；

②当0＜m≤1时，令f（x）＝0得，显然；

令f（x）＞0得；令f（x）＜0得，

所以函数f（x）的单调递增区间是，单调递减区间，

当时，mx2﹣x＜0，lnx＜0，所以，

只需，所以，所以．