Question

已知函数f（x）=ax-3，g（x）=bx^-1+cx^-2（a，b∈R）且g（-

1

2

）-g（1）=f（0）
（1）试求b，c所满足的关系式；
（2）若b=1，F（x）=f（x）+g（x） 在x∈[

1

2

，+∞）为增函数，求a的取值范围．
（3）若b=0，方程f（x）=g（x）在x∈（0，+∞）有唯一解，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由g(-

1

2

)-g(1)=f(0)，即可得出；
（2）F（x）在x∈[

1

2

，+∞)上递增，?F′(x)=a-

1

x2

≥0在x∈[

1

2

，+∞)上恒成立，转化为恒成立问题，求出即可；
（3）由b=0，b-c-1=0，可得c=-1．方程f（x）=g（x），即ax-3=-

1

x2

，可化为a=-

1

x3

+

1

x

，令

1

x

=t，则由题意可得，a=3t-t³在t∈（0，+∞）上有唯一解，再利用导数研究其单调性、极值即可．

解答：解：（1）由g(-

1

2

)-g(1)=f(0)，得（2b+4c）-（b+c）=-3．
∴b、c所满足的关系式为b-c-1=0．
（2）由b=1，b-c-1=0，可得c=0，∴g（x）=

1

x

，F（x）=ax+

1

x

-3．
∵F（x）在x∈[

1

2

，+∞)上递增，
∴F′(x)=a-

1

x2

≥0在x∈[

1

2

，+∞)上恒成立  即：a≥

1

x2

在x∈[

1

2

，+∞)上恒成立．
∴a≥(

1

x2

)max∵函数y=

1

x2

在x∈[

1

2

，+∞)上单调递减，∴(

1

x2

)max=4．
∴a≥4．
（3）由b=0，b-c-1=0，可得c=-1．
方程f（x）=g（x），即ax-3=-

1

x2

，可化为a=-

1

x3

+

1

x

，
令

1

x

=t，则由题意可得，a=3t-t³在t∈（0，+∞）上有唯一解，
令h（t）=3t-t³（t＞3），由h′（t）=3-3t²，可得t=1，
当0＜t＜1时，由h′（t）＞0，可知h（t）是增函数；
当t＞1时，由h′（t）＜0，可知h（t）是减函数．故当t=1时，h（t）取极大值2．
由函数h（t）的图象可知，当a=2或a≤0时，方程f（x）=g（x）有且仅有一个正实数解．
故所求a的取值范围是{a|a=2或a≤0}．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、把问题等价转化等是解题的关键．