Question

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，a₂•a₃=45，a₁+a₄=14
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

2n2-n

n+c

（n∈N⁺），是否存在一个非零常数c，使数列{b_n}也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）等差数列{a_n}中，由公差d＞0，a₂•a₃=45，a₁+a₄=14，利用等差数列的通项公式列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）b_n=

2n2-n

n+c

=2n-

n+2nc

n+c

，利用数列{b_n}为等差数列，可得1+2c=0，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}中，公差d＞0，a₂•a₃=45，a₁+a₄=14，
∴（a₁+d）（a₁+2d）=45，a₁+a₁+3d=14，
解得a₁=1，d=4，或a₁=13，d=-4（舍），
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+4（n-1）=4n-3．
（2）b_n=

2n2-n

n+c

=2n-

n+2nc

n+c

，
∵数列{b_n}为等差数列，
∴1+2c=0，
∴c=-

1

2

．

点评：本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．