Question

如图，四棱锥P-ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，△PAD为正三角形，DA⊥AB，CB⊥AB，AB=AD=1，BC=2，E为BC的中点，M为侧棱PB上一点．
（Ⅰ）求二面角P-BD-A的余弦值；
（Ⅱ）是否存在点M使平面MAE⊥平面PBD？若存在，求出

PM

MB

的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结DE，设BD与AE交于O，四边形ABED为正方形，取AD中点F，取DO中点G，则FG⊥BD于G，连结PG，则PG⊥BD，∠PGF为二面角P-BD-A的平面角，由此能求出二面角P-BD-A的余弦值．
（Ⅱ）要使平面MAE⊥平面PBD，只要BD⊥平面MAE，由AE⊥BD，知只需BD⊥GM，由此能求出满足条件的点M存在，且

PM

MB

=

1

2

．

解答： 解：（Ⅰ）连结DE，设BD与AE交于O，
由已知四边形ABED为正方形，
取AD中点F，∵PAD为正三角形，∴PF⊥AD，
∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PF=⊥底面ABCD，
取DO中点G，则FG⊥BD于G，连结PG，则PG⊥BD，
∴∠PGF为二面角P-BD-A的平面角，
PF=

3

2

，FG=

1

2

AO=

2

4

，
在Rt△PFG中，tan∠PGF=

PF

FG

=

3 2

2 4

=

6

，
∴cos∠PGF=

7

7

．
∴二面角P-BD-A的余弦值为

7

7

．
（Ⅱ）要使平面MAE⊥平面PBD，只要BD⊥平面MAE，
∵AE⊥BD，∴只需BD⊥GM，
在△PBD中，PD=1，PB=BD=

2

，
cos∠PBD=

2+2-1

2×2

=

3

4

．
BM=

GB

cos∠PBD

=

2 2

3 4

=

2 2

3

．
∴满足条件的点M存在，且

PM

MB

=

1

2

．

点评：本题考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．