Question

已知函数f（x）定义域为[-1，1]，且f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），且f（

1

2011+x

）=1+f（

1

x

），求P=f（

1

5

）+f（

1

11

）+…+f（

1

r2+r-1

）+…+f（

1

20122

+2012^-1）的值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,压轴题,函数的性质及应用

分析：用

1

x

，

1

y

分别代换x，y，化简得到f（

1

x

）-f（

1

y

）=f（x）-f（y），再由条件f（

1

2011+x

）=1+f（

1

x

），得到f（2011+x）-f（x）=1．由于（

1

r2+r-1

=f[

r-(r+1)

1-r(r+1)

]=f（r）-f（r+1）．再运用累加法，即可求出p的值．

解答： 解：由于函数f（x）定义域为[-1，1]，且f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），
用

1

x

，

1

y

分别代换x，y，
则有f（

1

x

）-f（

1

y

）=f（

y-x

xy-1

）=f（

x-y

1-xy

）=f（x）-f（y）
得f（x）-f（y）=f（

1

x

）-f（

1

y

）
又f（

1

2011+x

）=1+f（

1

x

），
即f（

1

2011+x

）-f（

1

x

）=1，
由于f（

1

r2+r-1

=f[

r-(r+1)

1-r(r+1)

]=f（

1

r

）-f（

1

r+1

）．
于是f（

1

5

）=f（

1

2

）-f（

1

3

），
f（

1

11

）=f（

1

3

）-f（

1

4

），…，
f（

1

20122+2012-1

）=f（

1

2012

）-f（

1

2013

）．
于是p=f（

1

2

）-f（

1

2013

）
=f（

1

2

）-1-f（

1

2

）=-1．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法或赋式法，考查数列求和法：累加法，是一道压轴题，也是难题．