Question

设函数f（x）=ax³+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数f′（x）的最小值为-12．求函数f（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：根据函数f（x）为奇函数，得出c=0．这时，f′（x）=3ax²+b，由f′（x）最小值为-12，得出b=-12．而通过切线与直线x-6y-7=0垂直，求出切线斜率为-6，根据函数在切点处的导数与切线斜率的关系能求出a，从而求出f（x）解析式．

解答： 解：∵f（x）为奇函数；
∴c=0；
∴f（x）=ax³+bx，f′（x）=3ax²+b；
∴b=-12，（3a-12）•

1

6

=-1；
∴a=2
∴f（x）=2x³-12x．

点评：考查奇函数的概念，二次函数的最值，以及函数在切点处的导数与切线斜率的关系，相互垂直的两直线斜率的关系．