Question

已知函数f（x）=x-alnx（a∈R）
（1）求f（x）的极值；
（2）求f（x）在[1，2]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=

x-a

x

，x＞0．由此根据a的范围分类讨论，利用导数性质能求出f（x）的极值．
（2）由a的范围分讨论，利用导数的性质能求出f（x）在[1，2]上的最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x-alnx（a∈R），
∴f′（x）=1-

a

x

=

x-a

x

，x＞0．
当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，没有极值；
当a＞0时，由f′（x）=0，得x=a，
∵x∈（0，a）时，f′（x）0．
∴f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）-a-alna，无极大值，
综上：当a≤0时，函数f（x）无极值；
当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a-alna，无极大值．
（2）由（1）知：
①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，
∴f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1；
②当a＞0时，由f′（x）=0，得x=a，
∵x∈（0，a）时，f′（x）0．
∴f（x）在x=a处取得极小值，
（i）当0＜a≤1时，f（1）=1，f（2）=2-aln2，
f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1；
（ii）当1＜a＜2时，函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（a）=a-alna；
（iii）当a≥2时，f（1）=1，f（2）=2-aln2，
f（x）在[1，2]上的最小值为f（2）=2-aln2．
∴f（x）在[1，2]上的最小值：
f（x）_min=

1，a≤1 a-alna，1＜a＜2 2-aln2，a≥2

．

点评：本题考查函数的极值的求法，考查函数在闭区间上函数的最小值的求法，是解题时要认真审题，注意分类讨论思想和导数性质的合理运用．