Question

设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点是同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上的点的最短距离为

3

，求这个椭圆的方程和离心率．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：当焦点在x轴时，设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，由题意知a=2c，a-c=

3

，由此能求出椭圆方程和离心率e=

1

2

．同理，当焦点在y轴时，由样能求出椭圆方程和离心率．

解答： 解：当焦点在x轴时，设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
由题意知a=2c，a-c=

3

，
解得a=2

3

，c=

3

，
所以b²=9，所求的椭圆方程为

x2

12

+

y2

9

=1．离心率e=

1

2

．
同理，当焦点在y轴时，
所求的椭圆方程为

x2

9

+

y2

12

=1．离心率e=

1

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．