Question

已知函数f（x）=

2x+m

2x+1

为奇函数，m∈R．
（1）求m的值；
（2）利用定义判断并证明函数f（x）的单调性，并求出f（x）在[-1，1]上的最大值．

Answer 1

考点：函数最值的应用,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）=

2x+m

2x+1

为奇函数，则f（0）=0，可得m的值；
（2）f（x）=1-

2

2x+1

，任取x₁、x₂∈R，设x₁＜x₂，通过作差证明f（x₁）＜f（x₂）即可判断函数的单调性，进而得到f（x）在[-1，1]上的最大值；

解答： 解：（1）∵f（x）为奇函数．
∴f（0）=

1+m

2

=0，
解得m=-1，
当m=-1时，f（x）=

2x-1

2x+1

，
f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

2x+1

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），
满足奇函数的定义．
故m=-1；
（2）f（x）=1-

2

2x+1

，
任取x₁、x₂∈R，设x₁＜x₂，
∵f（x₁）-f（x₂）=（1-

2

2x1+1

）-（1-

2

2x2+1

）=2（

2

2x2+1

-

2

2x1+1

）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x1+1＞0，2x2+1＞0，2x1-2x2＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在其定义域R上是增函数．
由f（1）=

2-1

2+1

=

1

3

，
故f（x）在[-1，1]上的最大值为

1

3

．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，要熟练掌握．