Question

当t≤x≤t+1时，求函数y=

1

2

x²-x-

5

2

的最值（其中t为常数）．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得函数y=

1

2

（x-1）²-3 的图象的对称轴方程为x=1，利用二次函数的性质，分类讨论求得函数的最值．

解答： 解：∵函数y=

1

2

x²-x-

5

2

=

1

2

（x-1）²-3 的图象的对称轴方程为x=1，
当t+1＜1时，函数在[t，t+1]上是减函数，故函数的最大值为f（t）=

1

2

t²-t-

5

2

，最小值为f（t+1）=

1

2

t²-3．
当t≤1＜t+

1

2

时，函数的最大值为为f（t+1）=

1

2

t²-3，最小值为f（1）=-3．
当t+

1

2

≤1＜t+1时，函数的最大值为f（t）=

1

2

t²-t-

5

2

，最小值为f（1）=-3．
当t≥1时，函数在[t，t+1]上是增函数，故函数的最小值为f（t）=

1

2

t²-t-

5

2

，最大值为f（t+1）=

1

2

t²-3．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属基础题．