Question

已知函数f（x）=2x³-（a+2）x²+2（a-1）x（a∈R）．
（Ⅰ） 若函数y=f（x）在x=-1处的切线方程为4x-y+5=0，求实数a的值．
（Ⅱ）当x∈[0，3]时，不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数f（x）的导数f′（x），计算f（x）在点P（-1，f（-1））处的切线斜率k，由切线方程为4x-y+5=0，得k=f′（-1）=4a+8．求解即可．
（Ⅱ）由f′（x）=6x²-2（a+2）x+2（a-1）=2（x-1）（3x-a+1），得令f′（x）=0，有x=1，或x=a-1．讨论1与a-1的大小，求出f（x）的最小值，由f（x）_min≥0可解得实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2x³-（a+2）x²+2（a-1）x（a∈R），
∴f′（x）=6x²-2（a+2）x+2（a-1），
∵函数y=f（x）在x=-1处的切线方程为4x-y+5=0，
∴f′（-1）=4，
即6+（a+2）+2（a-1）=4，
解得，a=-1；
（Ⅱ）∵f′（x）=6x²-2（a+2）x+2（a-1）
=2（x-1）（3x-a+1），
∴令f′（x）=0，有x=1，或x=a-1．
当a-1≤1，即a≤2时，x∈[0，3]，f（x）的最小值在x=0，或x=1处取得，
∴不等式f（x）≥0恒成立等价于，

f(0)≥0 f(1)≥0

，即2-（a+2）+2（a-1）≥0，
解得a=2，
当1＜a-1＜3，即2＜a＜4时，x∈[0，3]，f（x）的最小值在x=0，或x=a-1处取得，
∴不等式f（x）≥0恒成立等价于，

f(0)≥0 f(a-1)≥0

，即2（a-1）³-（a+2）（a-1）²+2（a-1）（a-1）≥0，
解得2＜a＜4，
当a-1≥3，即a≥4时，x∈[0，3]，f（x）的最小值在x=0，或x=3处取得，
∴不等式f（x）≥0恒成立等价于，

f(0)≥0 f(3)≥0

，即54-9a-18+6a-6≥0，
解得4≤a≤10，
综上所述，实数a的取值范围是[2，10]

点评：本题考查利用导数的几何意义求切线斜率，以及利用导数研究函数的极值、最值，考查恒成立问题，考查转化为思想．属于难题