【题目】设函数
(1)若 ,求 的单调区间;
(2)若 时, 恒成立,求 的范围
【答案】
(1)若
在 上递减, 在 上递增
(2) 因为
(i)当 即 时,
在 上是增函数,
在 上也是增函数
此时 恒成立
(ii)当 ,即 时,
令 得 ,
易得 在 上递减,在 上递增
在 上,
在 上, 也是减函数
在 上,
这与已知相悖
综上所述: 的取值集合是
【解析】导数做为一种工具,出现在函数中,主要处理一些关于函数单调性的问题,以及函数的最值和极值问题的运用。对于不等式的恒成立问题,通常要构造函数,分离参数的思想来求解函数的最值来得到。属于难度试题
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.
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【题目】平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点为A(﹣3,0),B(2,1),C(﹣2,3),求:
(Ⅰ)BC边上高线AH所在直线的方程;
(Ⅱ)若直线l过点B且横、纵截距互为相反数,求直线l的方程.
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【题目】经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出该产品获利润500元,未售出的产品,每亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了该农产品.以 (单位: )表示下一个销售季度内的市场需求量, (单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
(1)将表示为的函数;
(2)根据直方图估计利润不少于57000元的概率;
(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量,则取,且的概率等于需求量落入的频率),求的数学期望.
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【题目】设函数 在R上可导,其导函数为 且函数 的图像如图所示,则下列结论一定成立的是( )
A.函数 的极大值是 ,极小值是
B.函数 的极大值是 ,极小值是
C.函数 的极大值是 ,极小值是
D.函数 的极大值是 ,极小值是
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【题目】在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70,100).已知成绩在90分以上的学生有12人.
(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人?
(2)若成绩在80分以上(含80分)为优,试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人?
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【题目】“微信运动”已成为当下热门的运动方式,小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”,他随机选取了其中的40人(男、女各20人),记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如下:
步数 性别 | 0-2000 | 2001-5000 | 5001-8000 | 8001-10000 | >10000 |
男 | 1 | 2 | 3 | 6 | 8 |
女 | 0 | 2 | 10 | 6 | 2 |
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
附:
(1)已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”,否则为“懈怠型”,根据题意完成下面的列联表,并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关?
积极型 | 懈怠型 | 总计 | |
男 | |||
女 | |||
总计 |
(2)若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布,现从小王的所有微信好友中任选2人,其中每日走路不超过5000步的有人,超过10000步的有人,设,求的分布列及数学期望.
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