Question

【题目】定义在R上的可导函数f（x）满足f（x）﹣f（﹣x）=2x3 ， 当x∈（﹣∞，0]时f'（x）＜3x2 ， 实数a满足f（1﹣a）﹣f（a）≥﹣2a3+3a2﹣3a+1，则a的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：令g（x）=f（x）﹣x3，

则g（﹣x）=f（﹣x）﹣x3，

则g（x）﹣g（﹣x）=f（x）﹣f（﹣x）﹣2x3=0，得g（x）为R上的偶函数，

∵x＜0时，g'（x）=f'（x）﹣3x2＜0，故g（x）在（﹣∞，0）单调递减，

再结合g（x）为偶函数，知g（x）在（0，+∞）单调递增，

又g（1﹣a）﹣g（a）=f（1﹣a）﹣（1﹣a）3﹣（f（a）﹣a3）=f（1﹣a）﹣f（a）+2a3﹣3a2+3a﹣1=0，

则g（1﹣a）≥g（a）等价于|1﹣a|≥|，解得a≤ ，即a∈（﹣∞， ]．

故选：D．

【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．