Question

【题目】已知直线过坐标原点O且与圆相交于点A，B，圆M过点A，B且与直线相切．

（1）求圆心M的轨迹C的方程；

（2）若圆心在x轴正半轴上面积等于的圆W与曲线C有且仅有1个公共点．

（ⅰ）求出圆W标准方程；

（ⅱ）已知斜率等于的直线，交曲线C于E，F两点，交圆W于P，Q两点，求的最小值及此时直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）的最小值为，此时直线的方程为．

【解析】

（1）设，由题意结合圆的性质可得、，代入化简即可得解；

（2）（ⅰ）设圆W与曲线C的公共点为，圆W的标准方程，由题意可得曲线C在T的切线l与圆W相切即，由直线垂直的性质及点在圆W上即可得解；

（ⅱ）设，，直线，联立方程组结合弦长公式可得，由垂径定理可得，确定m的取值范围后，通过换元、基本不等式即可得解.

（1）由题意圆的圆心为，半径为2，直线过坐标原点O，

所以坐标原点O为AB的中点，，

所以，

设，所以，

又因为圆M与直线相切，所以圆M的半径，

所以，化简得M的轨迹C的方程为；

（2）（ⅰ）由（1）知曲线C为，设，则，

设圆W与曲线C的公共点为，

则曲线C在T的切线l的斜率，

由题意，直线l与圆W相切于T点，

设圆W的标准方程为，则圆W的的圆心为，

则直线WT的斜率，

因为，所以，即 ，

又因为，所以，所以

令，则，所以

即，所以，

所以，，

从而圆W的标准方程为；

（ⅱ）设，，直线，

由得，所以，，

所以，

又因为圆W的圆心到直线的距离为，

所以，

所以，

由于与曲线C、圆W均有两个不同的交点，，解得，

令，则，

则

，

当且仅当，即，亦时取等号，

当时，的最小值为，

此时直线的方程为.