[题目]已知球为正四面体的外接球..过点作球的截面.则截面面积的取值范围为 . 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知球为正四面体的外接球，，过点作球的截面，则截面面积的取值范围为____________________。

【答案】

【解析】

在平面中，过圆内一点的弦长何时最长，何时最短，类比在空间中，过球内一点的球的大圆面积最大，与此大圆垂直的截面小圆面积最小.利用正四面体的性质及球的性质求正四面体外接球的半径、小圆半径，确定答案.

因为正四面体棱长为AB=3，所以正四面体外接球半径R=.由球的性质，当过E及球心O时的截面为球的大圆，面积最大，最大面积为；当过E的截面与EO垂直时面积最小，取△BCD的中心，因为为正四面体，所以平面BCD ,O在上，，所以,

在三角形中，由,，,，

由余弦定理

在直角三角形中

所以过E且与EO垂直的截面圆的半径r为，截面面积为.

所以所求截面面积的范围是.

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