Question

6．如图是某城市100户居民的月均用电量（单位：度）以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图．
（1）求直方图中x的值及月均用电量的中位数；
（2）从月均用电量在[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，再从11户居民中随机抽取2户进行用电分析．用X表示这2户居民中月均用电量在[220，240）内的户数，求随机变量X的分布列和均值．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图物性质能求出x并推导出中位数应在[220，240）内，设中位数为a，由频率分布直方图的性质列出方程，给求出月均用电量的中位数．
（2）分别求出求出月均用电量在[220，240）内的户数、在[240，260）内的户数在[260，280）内的户数、在[280，300]内的户数，求出抽取比例，从而得到X服从超几何分布，X可能取的值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和均值．

解答 解：（1）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，
解得x=0.0075；                                                      （2分）
因为（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，
所以中位数应在[220，240）内，
设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5，
解得a=224．（4分）
（2）月均用电量在[220，240）内的户数为0.0125×20×100=25，
在[240，260）内的户数为0.0075×20×100=15，
在[260，280）内的户数为0.005×20×100=10，
在[280，300]内的户数为0.0025×20×100=5，
从中抽取11户，抽取比例为$\frac{11}{25+15+10+5}$=$\frac{1}{5}$，
所以月均用电量在[220，240）内应抽取的户数为$25×\frac{1}{5}=5$．（7分）
用X表示这2户居民中用电量在[220，240）内的户数，
所以X服从超几何分布，X可能取的值为0，1，2．
相应的概率为$P（X=k）=\frac{{C_5^kC_6^{2-k}}}{{C_{11}^2}}（k=0，1，2）$，（9分）
分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{3}{11}$	$\frac{6}{11}$	$\frac{2}{11}$

（11分）
$E（X）=0×\frac{3}{11}+1×\frac{6}{11}+2×\frac{2}{11}=\frac{10}{11}$．（12分）

点评 本题考查频率分布列方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意超几何分布的性质的合理运用．