Question

已知直线L：x+y-9=0和圆M：2x²+2y²-8x-8y-1=0，点A在直线L上，B，C为圆M上的两点，在△ABC中，∠BAC=45°，AB过圆心M，则点A的横坐标取值范围为（　　）

• A、[0，3]
• B、[3，6]
• C、（0，3]
• D、（3，6）

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：圆的方程化为标准方程，设A（a，9-a），①当a≠2时，把∠BAC看作AB到AC的角，又点C在圆M，由圆心到AC的距离小于等于圆的半径，求出a的范围；②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线有x-y+5=0，或x+y-9=0，判断这样点C不在圆M上不成立．

解答： 解：圆M：2x²+2y²-8x-8y-1=0方程可化为（x-2）²+（y-2）²=（

34

2

）²，
设A点的横坐标为a，则纵坐标为9-a；
①当a≠2时，k_AB=

7-a

a-2

，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角，则可得k=

5

2a-9

，
直线AC的方程为y-（9-a）=

5

2a-9

（x-a）
即5x-（2a-9）y-2a²+22a-81=0，
又点C在圆M上，所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径，即

|10-2(2a-9)-2a2+22a-81|

25+(2a-9)2

≤

34

2

，
化简得a²-9a+18≤0，解得3≤a≤6；
②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线为x-y+5=0，或x+y-9=0
M到x-y+5=0的距离d=

|2-2+5|

2

=

5 2

2

＞

34

2

，这样点C不在圆M上，
同理x+y-9=0，显然也不满足条件，
综上：A点的横坐标范围为[3，6]．
故选B．

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系及方程的应用，考查直线中的到角公式，点到直线的距离，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．