Question

16．已知椭圆E的中心在原点，离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，右焦点到直线x+y+$\sqrt{2}$=0的距离为2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）椭圆下顶点为A，直线y=kx+m（k≠0）与椭圆相交于不同的两点M、N，当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用右焦点到直线x+y+$\sqrt{2}$=0的距离为2，建立方程求出c，利用离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求出a，可得b，即可求椭圆E的方程；
（2）设弦MN的中点为P（x_p，y_p），x_M、x_N分别为点M、N的横坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用直线与椭圆有两个不同的交点，得到△＞0，可得m²＜3k²+1，通过|AM|=|AN|，判断AM⊥AN，得到2m=3k²+1，然后求得m的取值范围．

解答 解：（1）设椭圆的右焦点为（c，0），依题意有$\frac{|c+\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=2
又c＞0，得c=$\sqrt{2}$                   …（2分）
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴a=$\sqrt{3}$         …（3分）
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1                 …（4分）
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1    …（5分）
（2）椭圆下顶点为A（0，-1），
设弦MN的中点为P（x_p，y_p），x_M、x_N分别为点M、N的横坐标，
由直线与椭圆方程消去y，得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，
由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以
∴△＞0，即m²＜3k²+1    ①…（7分）
x_p=-$\frac{3mk}{3{k}^{2}+1}$，从而y_p=kx_p+m=$\frac{m}{3{k}^{2}+1}$，k_AP=$\frac{{y}_{P}+1}{{x}_{P}}$=-$\frac{m+3{k}^{2}+1}{3mk}$…（9分）
又|AM|=|AN|∴AM⊥AN，则-$\frac{m+3{k}^{2}+1}{3mk}$=-$\frac{1}{k}$，即2m=3k²+1 ②，…（10分）
将②代入①得2m＞m²，解得0＜m＜2，由②得k²=$\frac{2m-1}{3}$＞0，解得m＞$\frac{1}{2}$，
故所求的m取值范围是（$\frac{1}{2}$，2）．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，求解范围问题，一般通过含变量一个方程与一个不等式的关系求解．