Question

7．如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA=PC，PB=PD=AB．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）设AC与BD相交于点O，连接PO，根据三线合一得出PO⊥AC，PO⊥BD，故而PO⊥平面ABCD，得出平面PAC⊥平面ABCD；
（2）以O为原点，以OB，OD，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，设AB=2，求出$\overrightarrow{PB}$和平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$，则|cos＜$\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{n}$＞|即为所求．

解答 （1）证明：设AC与BD相交于点O，连接PO
∵ABCD为菱形，∴O为AC，BD的中点．
∵PA=PC，PB=PD，
∴PO⊥AC，PO⊥BD．又AC∩BD=O，AC，BD?平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
又PO?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABCD．
（2）解：∵ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC为正三角形，AC⊥BD，
不妨设PB=PD=AB=2，则BO=$\sqrt{3}$，∴PO=1．
以O为原点，以OB，OD，OP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
∴P（0，0，1），B（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，1，0），D（-$\sqrt{3}$，0，0）．
∴$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{3}$，0，-1），$\overrightarrow{PC}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{PD}$=（-$\sqrt{3}$，0，-1）．
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{y-z=0}\\{-\sqrt{3}x-z=0}\end{array}}\right.$．令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PB}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}•2}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，空间向量的应用及线面角的计算，属于中档题．