Question

18．已知关于x的不等式mx²+2x+6m＞0，在下列条件下分别求m的值或取值范围：
（1）不等式的解集为{x|2＜x＜3}；      
（2）不等式的解集为R．

Answer 1

分析 （1）根据不等式与它对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出m的值；      
（2）根据一元二次不等式恒成立的条件，列出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，求出解集即可．

解答 解：（1）∵关于x的不等式mx²+2x+6m＞0，
∴当不等式的解集为{x|2＜x＜3}时，
方程mx²+2x+6m=0的两个实数根为2和3，
由根与系数的关系，得
2+3=-$\frac{2}{m}$，
解得m=-$\frac{2}{5}$；      
（2）当不等式的解集为R时，$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{4-2{4m}^{2}＜0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{m＜-\frac{\sqrt{6}}{6}或m＞\frac{\sqrt{6}}{6}}\end{array}\right.$，
即m＞$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查了一元二次不等式与对应方程关系的应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是基础题目．