Question

1．求函数 f（x）=$\frac{4}{x}$+$\frac{1}{1-4x}$，x∈（0，$\frac{1}{4}$）的最小值．

Answer 1

分析 x∈（0，$\frac{1}{4}$），可得1-4x，4x∈（0，1）．变形f（x）=$\frac{4}{x}$+$\frac{1}{1-4x}$=[4x+（1-4x）]$（\frac{4}{x}+\frac{1}{1-4x}）$，展开利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵x∈（0，$\frac{1}{4}$），∴1-4x，4x∈（0，1）．
∴f（x）=$\frac{4}{x}$+$\frac{1}{1-4x}$=[4x+（1-4x）]$（\frac{4}{x}+\frac{1}{1-4x}）$=17+$\frac{4x}{1-4x}$+$\frac{4（1-4x）}{x}$≥17+8$\sqrt{\frac{x}{1-4x}•\frac{1-4x}{x}}$=25，当且仅当x=$\frac{1}{5}$时取等号．
∴f（x）的最小值为25．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．